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          國際數學日|圓周率不只是個無理數,更是一部“有理”的數學史
          發布時間:2024-03-14 來源:科普中國 責任編輯:科普網 【字體: 打印
          2019年11月26日,聯合國教科文組織在第四十屆大會批準宣布,3月14日為“國際數學日”。國際數學日之所以定在3月14日,是因為“3.14”是圓周率數值最接近的數字,因此很多人也把這篇天稱為“國際圓周率日”。今天,我們也來湊個熱鬧,來聊一聊全世界圓周率背后的數學史。
          01 古埃及:化圓為方的金字塔
          在長達數千年的時間里,人類一直在不斷追尋圓周率真正的數值。
          全世界的古文明,最晚從青銅時代就開始計算圓周率。成書于約公元前1650年的《萊因德紙草書》,是一部著名的古埃及數學書,書中第50題問到:「試求一個直徑等于9的圓形,土地面積為多少?」而解答為:減掉直徑的1/9 并將它平方,換句話說,圓形面積等于64。用這個答案反推出當時認為的圓周率值約3.16。
          然而奇怪的是,比這本書早大概900年建成的古埃及胡夫金字塔,卻已經在工程設計中使用了更精確的圓周率數字數值:胡夫金字塔是現存最巨大的古建筑,約建于公元前2560 年,原高度為146.59 米,底座為邊長230.37米的正方形。這樣的建筑尺寸是否基于什么比例規則?要解開這個謎底必須回到古埃及的一種測量單位——肘尺(cubit,又稱腕尺)。肘尺的長度以一位成年人手肘到中指頂端的距離為基準,根據現今出土的埃及肘尺工具,它的長度約為52.35厘米。
          胡夫金字塔的高度和底座邊長這兩個數字看似雜亂,但如果以肘尺表示則剛好是280 和440 肘尺這兩個漂亮的整數單位。除整數單位之外,若將邊長除以2倍塔高,正好就等于3.1416。因此,以金字塔高度為半徑的圓周長,恰好等于正方形底座的周長,這可以說是周長版的「化圓為方」,實在精妙!
          但有的學者懷疑,這個π/2的比例只是巧合,因為如前所述,古埃及人認知的圓周率是3.16。但也有學者認為,《萊因德紙草書》只是諸多古埃及數學文獻之一,不排除埃及已有其他更準確的圓周率近似值。而且埃及人建造了數十座金字塔,如果我們退一步看一下其他金字塔,會發現它們的尺寸不同,但整體設計大致相似,底高比通常都接近圓周率,只不過沒有胡夫金字塔那么精確。
          大概于與埃及同時期的古巴倫人,也有了圓周率的認知。一塊產于公元前1900年的巴比倫石匾,清楚地記載了圓周率 = 25/8 = 3.125。而公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵書》記載了圓周率等于分數339/108, 約為3.139。然而這些顯然都是粗略的生活經驗值,并非嚴格推算的結果。
          02 古羅馬:最后一刻,阿基米德只想著“圓”
          公元前250年左右,古希臘數學家阿基米德,提出了第一種逼近圓周率的算法:阿基米德從單位圓出發,先用內接正六邊形求出圓周率的下界為3,再用外接正六邊形并借助勾股定理求出圓周率的上界小于4。接著他不斷內接邊數更多的正多邊形,一直到內接正96邊形和外接正96邊形為止。最后,他求出圓周率的下界和上界分別為223/71和22/7,并取它們的平均值3.141851為圓周率的近似值。
          阿基米德將畢生都奉獻給了圓周率,甚至連死前都在計算。傳說公元前212年,羅馬大軍攻入希臘時,阿基米德正跪在地上聚精會神地算圓周率。突然一名士兵沖過來,奉羅馬將軍之命要將他帶走為羅馬服務。結果沉浸在數學中的阿基米德,只是驅趕士兵說:“不要踩壞我畫的圓”。這個羅馬士兵大怒,不顧將軍不準傷害學者的命令,殺向死了阿基米德。阿基米德用鮮血染紅了圓周率的歷史,用生命捍衛了圓周率的尊嚴。后人為了紀念他對圓周率的杰出貢獻,又稱圓周率為“阿基米德常數”。
          不過羅馬也確實繼承了古希臘的數學,公元150年前后,羅馬的托勒密在阿基米德的基礎上多算了一些,算出377 / 120約等于3.14167的近似值。羅馬人偏愛圓形,今天意大利的著名古建羅馬斗獸場,就是一個巨大的圓形。
          03 古代中國:保持千年的最精確紀錄
          接著又過了100多年,中國人疾馳進入逼近圓周率的征途。其實,早在公元一世紀下半葉,數學專著《九章算術》就提出了圓周率的粗略值為3。到了公元265年,南朝數學家劉徽又發明了計算圓周率的科學方法“割圓術”,得出圓周率約等于3927/1250=3.1416,精確到了小數點后4位。
          劉徽的“割圓術”和阿基米德的迭代算法有異曲同工之妙,他用圓內接正多邊形的周長來逼近圓周長,一直計算到了圓內接96邊形的情況。公元480年,祖沖之沿用劉徽的算法,計算了12288邊形的面積,又推進到24576邊形的面積,得出了355/113≈3.1415929這個密律,達到7位小數精度,這是一個絕大多數現在工業都用不到的精度——祖沖之保留保持圓周率最精確的世界記錄長達1000年!
          古代中國人對計算圓周率如此熟悉和擅長,自然也少不了在建筑中應用。各種圓形的古代建筑多如牛毛,從北京天壇到福建土樓不計其數,無不彰顯著古人對圓周率的精確掌控。
           
          天壇祈年殿(來源:新華社)
          云南紅河州還有一座綽號“圓周率塔”的清道光年間所建的建水文筆塔。建水文筆塔通高31.4米。塔基四周邊長也是31.4米,恰好與塔的高度相同。而這個數字又如此接近圓周率,讓人不得不想到這是否是古人有意為之。不過有學者指出,道光年間還不使用現在的米制,而明朝一尺約合今31.1厘米,清朝一尺約合今32厘米,建水文筆塔的始建高度應當是100尺,即10丈,這或許才是塔高的本意。
          不過,我國古建筑學者王南指出,中國現存的眾多古塔中,有很多塔的高寬比都接近圓周率。這不是偶然巧合,而是蘊藏了古人“天圓地方”宇宙觀的精心設計。“天圓地方”的概念很早就在我國出現,是指測天量地的方法,“天圓”指測天須以“圓”的度數,即圓周率來計算,古謂“三天兩地”的“三”指的即是圓周率近似值;“地方”指量地須以“方”來計算,“兩地”即“方”,指邊長乘以邊長的計算法。
          04 不斷刷新紀錄!圓周率計算的“國際賽道”
          說回到圓周率的計算,中國“選手”祖沖之保持記紀錄千年,直到15世紀才有印度數學家馬大哈瓦打破:他將圓周率精確到了小數點后10位。緊接著波斯天文學家吉亞斯丁又繼承了他的算法,把精度推到了16位,達到了現代航天所需的最高精度。
          印度數字數學通過阿拉伯人傳播到了歐洲,明代傳教士也把中國數學翻譯介紹到了歐洲,歐洲數學從16世紀開始迅猛發展,掀起了圓周率不斷突破的高潮。到1706年,英國數學家威廉·瓊斯最先使用希臘字母π表示圓周率,緊接著瑞士大數學家歐拉也開始用π表示圓周率。從此,π便成了圓周率的代名詞。
          作者:劉阜 科普創作者
          審核:王洪鵬 中國科學技術館副研究員
          出品:科普中國
          監制:中國科學技術出版社有限公司、中科數創(北京)數字傳媒有限公司
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